秩一扰动与Anderson型哈密顿量

受离散随机薛定谔算子应用的启发，数学物理学家和分析学家开始研究更一般的Anderson型哈密顿量；即，可分离希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 上的自伴算子族 $$H_\omega = H + V_\omega$$，其中扰动由 $$V_\omega = \sum_n \omega_n (\cdot, \varphi_n)\varphi_n$$ 给出，$\{\varphi_n\}\subset\mathcal{H}$ 是一个序列，$\omega_n$ 是独立同分布的随机变量。我们证明，与随机变量的任意两个实现相关联的哈密顿量的本质部分（几乎必然）通过一个秩一扰动相关联。这一结果将最难以追踪的扰动问题之一（几乎必然非紧扰动）与扰动“仅为”秩一扰动的问题联系起来。后者是模型理论的一个基本应用。我们还证明，本质谱与开集的交集几乎必然是空集，或者具有非零勒贝格测度。