学习具有一般分布依赖的高维 McKean-Vlasov 正倒向随机微分方程
最优化与控制
2023-09-20 v3 机器学习
摘要
平均场控制与平均场博弈的核心问题之一是求解相应的 McKean-Vlasov 正倒向随机微分方程（MV-FBSDEs）。现有大多数方法针对特殊情况定制，其中平均场相互作用仅依赖于期望或其他矩，因而在平均场相互作用具有完全分布依赖时不足以解决问题。本文提出一种新颖的深度学习方法，用于计算具有一般形式平均场相互作用的 MV-FBSDEs。具体而言，基于虚拟博弈（fictitious play），我们将该问题重构为反复求解具有显式系数函数的标准 FBSDEs。这些系数函数用于近似具有完全分布依赖的 MV-FBSDEs 模型系数，并通过使用由上一次迭代的 FBSDE 解模拟得到的训练数据求解另一个监督学习问题来更新。我们使用深度神经网络求解标准 BSDEs 并近似系数函数，从而求解高维 MV-FBSDEs。在对所学函数的适当假设下，我们利用 [Han, Hu and Long, arXiv:2104.12036] 中先前提出的一类积分概率度量，证明了所提方法的收敛性不受维数灾难（CoD）影响。所证定理显示了该方法在高维中的优势。我们展示了该方法在高维 MV-FBSDE 问题中的数值表现，包括著名的 Cucker-Smale 模型的一个平均场博弈例子，其代价依赖于正过程的全部分布。
引用
@article{arxiv.2204.11924,
title = {Learning High-Dimensional McKean-Vlasov Forward-Backward Stochastic Differential Equations with General Distribution Dependence},
author = {Jiequn Han and Ruimeng Hu and Jihao Long},
journal= {arXiv preprint arXiv:2204.11924},
year = {2023}
}