拉东测度锥上的拉普拉斯算子

我们考虑无限维李群 $\mathfrak G$，它是黎曼流形 $X$ 的紧支撑微分同胚群与 $X$ 上函数的交换乘法群的半直积。群 $\mathfrak G$ 自然地作用于 $X$ 上拉东测度空间 $\mathbb M(X)$。我们希望定义与 $\mathfrak G$ 在 $L^2(\mathbb M(X),\mu)$ 中的自然表示相关联的拉普拉斯算子。此处 $\mu$ 被假定为测值 Lévy 过程的定律。由于测度 $\mu$ 关于群 $\mathfrak G$ 的作用不是拟不变的，该群的一个酉表示无法确定。因此，李代数及其泛包络代数的表示算子（特别是拉普拉斯算子）未被定义。尽管如此，我们利用群 $\mathfrak G$ 作用的一个特殊性质（部分拟不变性）确定了拉普拉斯算子。我们进一步证明了该拉普拉斯算子的本质自伴性。最后，我们显式构造了 $\mathbb M(X)$ 上的一个扩散过程，其生成元即为该拉普拉斯算子。