完全随机测度的拟不变性

设 $X$ 为局部紧波兰空间。令 $\mathbb K(X)$ 表示 $X$ 上离散 Radon 测度的空间。令 $\mu$ 为 $X$ 上的完全随机离散测度，即 $\mu$ 是 $X$ 上集中于 $\mathbb K(X)$ 的完全随机测度（的分布）。我们考虑乘法（流）群 $C_0(X\to\mathbb R_+)$，其由取值于 $\mathbb R_+=(0,\infty)$ 且在紧集外等于 1 的 $X$ 上的函数组成。每个元素 $\theta\in C_0(X\to\mathbb R_+)$ 将 $\mathbb K(X)$ 映到自身；更确切地说，$\theta$ 将离散 Radon 测度 $\sum_i s_i\delta_{x_i}$ 映为 $\sum_i \theta(s_i)s_i\delta_{x_i}$。因此，$C_0(X\to\mathbb R_+)$ 的元素变换离散 Radon 测度的权值。我们研究测度 $\mu$ 在流群 $C_0(X\to\mathbb R_+)$ 作用下的拟不变性条件，并考虑几类例子。我们进一步假设 $X=\mathbb R^d$ 并考虑局部微分同胚群 $\operatorname{Diff}_0(X)$。该群的元素也将 $\mathbb K(X)$ 映到自身。更确切地说，微分同胚 $\varphi\in \operatorname{Diff}_0(X)$ 将离散 Radon 测度 $\sum_i s_i\delta_{x_i}$ 映为 $\sum_i s_i\delta_{\varphi(x_i)}$。因此，$\operatorname{Diff}_0(X)$ 的微分同胚变换离散 Radon 测度的原子。我们研究 $\mu$ 在 $\operatorname{Diff}_0(X)$ 作用下的拟不变性。最后我们考虑半直积 $\mathfrak G:=\operatorname{Diff}_0(X)\times C_0(X\to \mathbb R_+)$ 并研究 $\mu$ 在 $\mathfrak G$ 作用下的拟不变性与部分拟不变性条件。