环面型 Bohr 概周期集

一个局部有限多重集 $(\Lambda,c)$，$\Lambda \subset \mathbb R^n, c : \Lambda \rightarrow \{1,...,b\}$ 定义了一个 Radon 测度 $\mu := \sum_{\lambda \in \Lambda} c(\lambda)\, \delta_\lambda$，若对每个 $f \in C_c(\mathbb R^n)$ 卷积 $\mu*f$ 都是 Bohr 概周期的，则该测度在 Favorov 意义下是 Bohr 概周期的。若其为环面型：Fourier 变换 $\mathfrak F \mu$ 在秩 $m < \infty$ 的子群外等于零，则存在 $\mathbb R^n$ 的紧化 $\psi : \mathbb R^n \rightarrow \mathbb T^m$、$\mathbb T^m$ 的一个叶状结构、以及一对 $(K,\kappa)$，其中 $K := \overline {\psi(\Lambda)}$ 且 $\kappa$ 是支撑于 $K$ 上的测度，使得 $\mathfrak F \kappa = (\mathfrak F \mu) \circ \widehat \psi$，这里 $\widehat \psi : \widehat {\mathbb T^m} \rightarrow \widehat {\mathbb R^n}$ 是 $\psi$ 的 Pontryagin 对偶。若 $(\Lambda,c)$ 是一致离散 Bohr 概周期且 $c = 1$，我们证明 $K$ 的每个连通分支同胚于横截于该叶状结构嵌入的 $\mathbb T^{m-n}$，且其嵌入的同伦是 $\mathbb Z^m$ 的一个秩 $m-n$ 子群 $S$，并且我们将 $\Lambda$ 的密度计算为 $\psi$ 与 $K$ 的连通分支同伦的函数。对于 $n = 1$ 且 $K$ 为非奇异实代数簇，该构造给出了近期由 Olevskii 和 Ulanovskii 刻画的全体 Fourier 准晶体（FQ），并提示了如何刻画 $n > 1$ 时的 FQ。