$\text{Homeo}_+(\mathbb{R})$ 子群的不变 Radon 测度与极小集

设 $G$ 为 $\text{Homeo}_+(\mathbb{R})$ 的一个无交叉元素的子群。我们展示了三项之间的等价性：(1) $\mathbb R$ 上 $G$-不变 Radon 测度的存在性；(2) $\mathbb R$ 的极小闭子集的存在性；(3) 覆盖整条直线的无穷塔的不存在性。对于 $\text{Homeo}_+(\mathbb{R})$ 的幂零子群 $G$，我们证明若 $G$ 中每个元素均为 $C^{1+\alpha} (\alpha>0$)，则 $G$ 总具有不变 Radon 测度与极小闭集；并构造了一个 $C^1$ 交换子群的 $\text{Homeo}_+(\mathbb{R})$ 反例。