拟不变群与庞特里亚金对偶

一个波兰群 $G$ 被称为拟不变群或 QI-群，如果存在一个局部紧群 $X$ 和 $X$ 上的一个概率测度 $\mu$，使得 1) 存在一个从 $G$ 到 $X$ 的连续单同态，并且 2) 对于每个 $g\in X$，要么 $g\in G$ 且平移 $\mu_g$ 等价于 $\mu$，要么 $g\not\in G$ 且 $\mu_g$ 正交于 $\mu$。证明了 $G$ 是 $X$ 的一个 $\sigma$-紧子集。我们证明了存在一个 $\ell^2$ 模去一个离散子群的商群 $\mathbb{T}^H_2$，它是一个波兰单生成、非局部拟凸（因此非自反）的逐路径连通 QI-群，并且 $\mathbb{T}^H_2$ 的双重对偶不是 QI-群。还证明了 QI-群的双重对偶群可能不是 $X$ 的饱和子群。