Ore扩张的Jacobson根

设$R$是一个环，$\sigma$是$R$的一个自同构，$D$是$R$上的一个$\sigma$-导子。我们将证明，如果$R$是特征为$0$的域上的代数且$D$是$q$-斜的，那么$J(R[x;\sigma,D])=I\cap R+I_0$，其中$I=\{r\in R : rx\in J(R[x;\sigma,D])\}$且$I_0=\{\sum_{i\geq 1}r_ix^i: r_i\in I\}$。我们将证明，如果$\sigma$是局部挠的且满足以下条件之一：(1) $R$是PI-环，(2) $R$是特征$p>0$的域上的代数且$D$是局部幂零导子且$\sigma D=D\sigma$，那么$J(R[x;\sigma,D])\cap R$是幂零的。这部分地回答了Greenfeld、Smoktunowicz和Ziembowski提出的一个开放问题。