Ore 扩张的秩条件与强秩条件

设 $R$ 为环，$\sigma:R\to R$ 为环自同态，$\delta:R\to R$ 为 $\sigma$-导子。我们证明了 Ore 扩张 $R[x;\sigma,\delta]$ 满足秩条件当且仅当 $R$ 满足秩条件。此外，我们针对右强秩条件和左强秩条件证明了类似的结果。然而，在右情形中，“若”部分需要 $\sigma$ 为自同构的假设；而在左情形中，该假设对于“仅当”部分是必需的。最后，我们为 Susan Montgomery 的一个旧结果提供了新证明，该结果指出斜幂级数环是直接有限的（相应地，稳定有限的）当且仅当其系数环是直接有限的（相应地，稳定有限的）。