环的局部幂零斜扩张

我们将关于局部幂零微分多项式环的已有结果推广到环的斜扩张。我们证明：若 $\mathscr{G}=\{\sigma_t\}_{t\in T}$ 是代数 $R$ 的一族局部有限自同构，$\mathscr{D}=\{\delta_t\}_{t\in T}$ 是 $R$ 的一族斜导子，使得 $R$ 的素根 $P$ 在 $\mathscr{D}$ 下强不变，则由 $P$ 生成的 $R\langle T,\mathscr{G},\mathscr{D}\rangle$ 的理想 $P\langle T,\mathscr{G},\mathscr{D}\rangle^*$ 是局部幂零的。随后我们将此结果应用于具有局部幂零导子的代数。我们证明：特征为 $0$ 的域上的任意代数 $R$，若具有一个满射的局部幂零导子 $d$ 且核交换，并且 $R$ 由 $\ker d^2$ 生成，则 $R$ 具有局部幂零的 Jacobson 根。