各向同性 Schur 根

在本文中，我们研究具有 $n$ 个顶点的无环箭图 $Q$ 的各向同性 Schur 根。我们研究维数向量 $d$ 的正交范畴 $\mathcal{A}(d)$，并在 $d$ 为各向同性 Schur 根 $\delta$ 时给出其完整描述。这是通过利用例外序列并定义依附于对 $(Q,\delta)$ 的子范畴 $\mathcal{R}(Q,\delta)$ 实现的。后者范畴总是等价于驯服型连通无环箭图 $Q_{\mathcal{R}}$ 的表示范畴，该箭图具有唯一的各向同性 Schur 根，记为 $\delta_{\mathcal{R}}$。对 $\mathcal{A}(\delta)$ 中单对象的理解使我们能获得维数向量为 $\delta$ 的箭图 $Q$ 的半不变量环 SI$(Q,\delta)$ 的有限生成元集。这些生成元之间的关系源自范畴 $\mathcal{R}(Q,\delta)$ 的表示论以及对 $\mathcal{A}(\delta)$ 的维数向量锥的精妙描述。实际上，我们证明 SI$(Q,\delta)$ 同构于半不变量环 SI$(Q_{\mathcal{R}},\delta_{\mathcal{R}})$ 并添入变量。特别地，利用 Skowroński 和 Weyman 的结果，环 SI$(Q,\delta)$ 是多项式环或超曲面。最后，我们提供一种寻找 $Q$ 的所有各向同性 Schur 根的算法。这通过辫群 $B_{n-1}$ 在某些例外序列上的作用实现。该作用具有有限多个轨道，每个轨道对应于 $Q$ 的驯服全子箭图的一个各向同性 Schur 根。