R^3 中电流场的各向同性可实现性

本文讨论 R^3 中给定的正则无散场 $j$ 作为电流场的各向同性可实现性，即确定何时可以将 $j$ 写为 $\sigma Du$ 的形式，其中 $\sigma$ 为某种各向同性电导率，$Du$ 为某种梯度场。若 $j$ 和 $\text{curl } j$ 在 R^3 中正交，则根据 Frobenius 定理可获得 R^3 中的局部各向同性可实现性。一个反例表明，Frobenius 条件不足以推导 R^3 中的全局各向同性可实现性。然而，假设 $(j, \text{curl } j, j \times \text{curl } j)$ 构成 R^3 的正交基，则可以通过沿 $j/|j|$、$\text{curl } j/|\text{curl } j|$ 和 $(j/|j|^2) \times \text{curl } j$ 方向的三个动力学流的组合来构造允许的电导率 $\sigma$。当场 $j$ 是周期的时，环面上的各向同性可实现性还需要关于沿第三个方向 $(j/|j|^2) \times \text{curl } j$ 的流的有界性假设。若干例子说明了可实现性条件的尖锐性。