临界点附近电场的各向同性可实现性

本文研究给定正则梯度场 $\nabla u$ 作为电场的各向同性可实现性，即 $\nabla u$ 是否为方程 $\div\left(\si\nabla u\right)=0$ 的解，其中 $\si>0$ 为某各向同性电导率。无临界点的函数 $u$ 情形已在 \cite{BMT} 中通过梯度流方法进行了研究。临界点的存在需要根据该点附近动力系统的行为进行专门处理。鞍点情形最为有利，使我们能够通过涉及沿梯度流的 $u$ 的拉普拉斯算子的有界性条件，来刻画局部各向同性可实现性。汇点或源点情形在相同的有界性条件下意味着强极值原理。然而，当临界点非双曲时，即使在该点的邻域内分段地，各向同性可实现性通常也不成立。本文还讨论了环面上周期梯度场的各向同性可实现性，特别是当梯度系统轨迹有界时的情形。