限制流中速度梯度场的谱动力学

我们研究基本 Euler 方程 $\partial_t u +u\cdot \nabla u=F$ 的速度梯度,该方程在不同 $F$ 的建模下出现在不同背景中。为此,我们利用 $\nabla u$ 谱动力学的基本描述,以(可能为复的)特征值 $\lambda=\lambda(\nabla u)$ 表示,其被证明受类 Ricatti 方程 $\lambda_t+u\cdot \nabla\lambda+\lambda^2= < l, \nabla F r>$ 支配。我们探讨与不同强迫 $F$ 相关的四个原型模型的时间正则性问题。在这些研究中以谱动力学为基本工具,我们得到了线性阻尼模型的临界阈值的简单形式,并辨识了无黏旋转尘埃介质模型的二维消失黏性极限。此外,对于 $n$ 维限制 Euler 方程,我们得到 $[n/2]+1$ 个全局不变量,其本身颇有意思,并使我们能精确刻画破裂时刻的局部拓扑,推广了先前 $n=3$ 维情形的研究。最后,作为第四个模型我们引入 $n$ 维限制 Euler-Poisson (REP) 系统,辨识出一组 $[n/2]$ 个全局不变量,进而给出 (i) 有限时间破裂的充分条件,以及 (ii) 导致全局光滑解的一大类二维初始构型的刻画。由此,二维限制 Euler-Poisson 方程被证明承认一个临界阈值。