哪些电场可在导电材料中实现？

在本文中，我们研究了定义在 $\RR^d$ 中的给定光滑周期梯度场 $\nabla u$ 的可实现性，即寻找何时可以获得一个电导率矩阵 $\si$，使得 $\si\nabla u$ 成为一个无散电流场。研究表明，只要 $\nabla u$ 不为零，这种构造在 $\RR^d$ 中局部总是可能的。这一条件在二维中是必要的，但在三维中则不然。事实上，对于非正则梯度场，可实现性可能会失败，而且一般来说，电导率不能既是周期的又是各向同性的。然而，利用动力系统方法，在梯度处处不为零的假设下，证明了在整个空间（无周期性）中各向同性可实现性成立。此外，还获得了确保环面上各向同性可实现性的尖锐条件。我们还研究了矩阵场在周期情况和层状情况下的可实现性。在此背景下，矩阵场行列式的符号根据空间维度起着至关重要的作用。