三维空间形式中的共形轨迹

我们引入了三维黎曼流形$M^3$中共形轨迹的概念。给定共形向量场$V\in\mathfrak{X}(M^3)$，$V$的共形轨迹是$M^3$中的正则曲线$\gamma$，满足$\nabla_{\gamma'}\gamma'=q\, V\times\gamma'$，其中$q\in {\mathbb{R}}$是非零常数。本文研究了空间形式${\mathbb{R}}^3$、${\mathbb{S}}^3$和${\mathbb{H}}^3$中的共形轨迹。对于${\mathbb{S}}^3$（分别地${\mathbb{H}}^3$）中的（非Killing）共形向量场，我们证明共形轨迹具有常曲率，其挠率是弧长参数的三角（分别地双曲）函数的线性组合。在欧几里得空间${\mathbb{R}}^3$的情况下，我们对径向向量场得到相同结果，并刻画了所有共形轨迹。