二维三相及四相对称复合材料的各向同性电导率：二义性与普适边界

我们考察二维三相及四相对称复合材料中各向同性有效电导率 $\sigma_e(\sigma_1,\ldots,\sigma_n)$ 的问题，第 $j$ 相具有部分各向同性电导率 $\sigma_j$。通过代数方法找到的有效电导率的上界 $\Omega(\sigma_1,\ldots,\sigma_n)$ 和下界 $\omega(\sigma_1,\ldots,\sigma_n)$，其中 $n=3,4$，是普适的（独立于复合材料的微结构），且具有 $\sigma_e(\sigma_1,\ldots,\sigma_n)$ 所有由物理学规律决定的代数性质：一次齐次性、完全置换不变性、Keller 自二义性、正性和单调性。这些边界与平凡解 $\sigma_e(\sigma,\ldots,\sigma)=\sigma$ 相容，并且满足 Dykhne 猜想。与已知的数值计算、渐近分析以及针对二维三相及四相复合材料各向同性有效电导率 $\sigma_e(\sigma_1,\ldots,\sigma_n)$ 的精确结果进行比较后显示，结果完全吻合。在两种情况下 $n=3,4$，边界 $\Omega(\sigma_1,\ldots,\sigma_n)$ 和 $\omega(\sigma_1,\ldots,\sigma_n)$ 均强于当前已知的变分边界。