从最小极小型 $W$-代数上的有限维模组构造不可约 cuspidal $\mathfrak{sl}_{n+1}$-模组

若一个 $\mathfrak{sl}_{n+1}$-模组的每个权重空间都是有限维的，并且 $\mathfrak{sl}_{n+1}$ 的每个根向量在其上作映射时都是单射，则称其为 cuspidal 模组。在 \cite{LL} 中，已证明任何具有广义 central character 的 cuspidal $\mathfrak{sl}_{n+1}$-模组范畴的块等价于 $\mathfrak{sl}_{n+1}$ 的最小极小型有限 $W$-代数 $W(e)$ 的有限维模组范畴的块。本文利用 $W(e)$ 的 centralizer 实现以及显式嵌入 $W(e)\rightarrow U(\mathfrak{gl}_n)$，我们证明 $W(e)$ 的每个有限维不可约模组都是某个有限维不可约 $\mathfrak{gl}_n$-模组的 $W(e)$-商模组的不可约模组。作为应用，我们可以给出所有不可约 cuspidal $\mathfrak{sl}_{n+1}$-模组的显式实现，这些实现来自有限维不可约 $\mathfrak{gl}_n$-模组，避免使用 \cite{M} 中引入的 twisted localization 方法和 coherent family。