具有二维奇异中心扩展共形伽利略对称性的不变偏微分方程

由$d,\ell$标记的共形伽利略代数（其中$d$是空间维数，$\ell$表示关于$\mathfrak{sl}(2)$子代数的自旋${\ell}$表示）允许两种类型的中心扩展：普通中心扩展（对于任何$d$和半整数$\ell$）和奇异中心扩展（仅当$d=2$且${\ell}\in\mathbb{N}$时存在）。对于两种类型的中心扩展，具有连续谱的不变二阶偏微分方程已在[1]中构造。后来在[2]中证明，普通中心扩展也导致具有离散谱的类谐振子偏微分方程。我们填补了现有空白，为奇异中心扩展的共形伽利略代数构造了一类新的不变二阶偏微分方程；当应用于最低权重表示时，它们具有离散且有界的谱。这些偏微分方程与其普通对应物显著不同。${\ell}=1$的情况（这是此类扩展的原型，就像$\ell=\frac{1}{2}$的薛定谔代数是普通共形伽利略代数的原型一样）被详细分析。