Pro-Euclidean 空间的内蕴等距嵌入

Petrunin 证明了度量空间 $\mathcal{X}$ 允许嵌入到 $\mathbb{E}^n$ 的内蕴等距，当且仅当 $\mathcal{X}$ 是秩至多为 $n$ 的 pro-Euclidean 空间。他随后表明，这两种情况均意味着 $\mathcal{X}$ 的覆盖维数 $\leq \, n$。在本文中，我们将此结果推广以包含嵌入。具体而言，我们首先证明任何秩至多为 $n$ 的 pro-Euclidean 空间都允许内蕴等距嵌入到 $\mathbb{E}^{2n+1}$ 中。随后，我们讨论了 Petrunin 的结果如何暗示了该结果的一个部分逆命题。