度量空间的双曲秩与次指数余秩

我们引入度量空间 $X$ 的一个新的拟等距不变量 $\subcorank X$，称为{\it 次指数余秩}。粗略地说，度量空间 $X$ 具有次指数余秩 $k$，如果存在连续映射 $g:X\to T$ 使得对每个 $t\in T$，原像集 $g^{-1}(t)$ 在 $X$ 中具有次指数增长率，且拓扑维数 $\dim T=k$ 在所有此类映射中极小。我们的主要结果是对于一大类度量空间 $X$（包括所有局部紧 Hadamard 空间）有不等式 $\hyprank X\le\subcorank X$，其中 $\hyprank X$ 为所有拟等距嵌入到 $X$ 中的 $\CAT(-1)$ 空间 $Y$ 的 $\di Y$ 的最大拓扑维数（该概念由 M. Gromov 以稍强的形式引入）。这证明了 M. Gromov 所猜想的关于 $\hyprank$ 的几个性质，特别地，任何非紧型黎曼对称空间 $X$ 都不具有标准双曲空间 $\hyp^n$ 到 $X$ 的拟等距嵌入 $\hyp^n\to X$，其中 $n-1>\dim X-\rank X$。