有限边界的最大 Gromov 超球空间的多面体结构

Gromov 超球空间 X 的边界 ∂X 承载着一种自然的 Moebius 结构。对于一个 proper、geodesically complete、boundary continuous 的 Gromov 超球空间 X，边界 ∂X 在其 cross-ratio 的意义下是一个特定类型的 quasi-metric 空间，称为 quasi-metric antipodal space。给定一个 quasi-metric antipodal space Z，可考虑该 Z 的所有 hyperbolic fillings 的集合。在 [biswas2024quasi] 中已证明该集合有一个唯一的上界 M(Z)（相对于该 Z 的 hyperbolic fillings 的自然偏序下），可以 Z 上的 cross-ratio 明确描述。如 [biswas2024quasi] 所示，空间 M(Z) 构成一种称为 maximal Gromov 超球空间的自然空间类。一个自然问题是描述边界 ∂X 为有限的 maximal Gromov 超球空间 X 的显式结构。我们证明，对于一个边界 ∂X 基数为 n 的 maximal Gromov 超球空间 X，空间 X 等距于嵌入 (ℝ^n, ||·||_∞) 中的一个有限多面体复合体，其中单元格维数最多为 n/2，通过将 n 条半线附加到紧致多面体复合体的顶点来实现。特别地，X 的无穷远几何是平凡的。多面体复合体的组合学由称为 antipodal relations 的特定关系 R ⊂ ∂X × ∂X 决定。在 [biswas2024quasi] 中已证明 maximal Gromov 超球空间是 injective metric 空间。我们给出了此事在有限边界情况下的较短、更简单的方法。在我们也考虑了带有限边界的 maximal Gromov 超球空间的变形空间，定义了相关的 Teichmuller 空间。