Gromov 双曲度量图上布朗运动的 Martin 边界

设 $\widetilde{X}$ 为一个局部有限完备的 Gromov 双曲度量图，其几何边界由无穷多个点组成。假设等距群 $Iso(\widetilde{X})$ 存在一个离散子群在 $\widetilde{X}$ 上几何作用。$\lambda$-Martin 边界是从 $\widetilde{X}$ 到 $\lambda$-上调和函数空间的嵌入像的边界。我们证明了对任意 $\lambda \in [0, \lambda_0]$，特别地，在谱底 $\lambda_0$ 处，$\lambda$-Martin 边界与几何边界重合。