作为极值 X-调和函数的超布朗运动的出流密度

设 $X$ 为定义在域 $E\subset R^n$ 上的超布朗运动（SBM），$(X_D)$ 为其按 $E$ 的子域索引的出流测度。方程 $1/2 \Delta u=2 u^2$ 与超布朗运动（SBM）之间的关系类似于布朗运动与拉普拉斯方程之间的关系，且在利用这种类比研究该半线性偏微分方程的解方面已取得实质性进展。Martin 边界理论是一个尚待探索的领域。半线性情形下的 Martin 边界被定义为极值 $X$-调和函数的凸集，这些函数是支撑在 $R^d$ 的域 $E$ 上的有限测度空间上的函数，并由关于超布朗运动律的均值性质所刻画。迄今为止，尚无 Martin 边界的概率构造。在本文中，我们考虑一个有界光滑域 $D$，并研究了 SBM 的出流密度，即一族由 $\partial{D}$ 上的有限测度 $\nu$ 索引的 $X$ 调和函数 $H^{\nu}$。这些密度最先由 E.B. Dynkin 引入，并被 T. Salisbury 和 D. Sezer 确认为对应于在 SBM 的出流测度 $X_D$ 等于 $\nu$ 的条件下的扩展 X-调和函数。$H^{\nu}(\mu)$ 可被视为布朗运动泊松核的类比。众所周知，光滑域 $D$ 的泊松核等价于所谓的 Martin 核，即 $D$ 的极值调和函数类。我们证明，对于超布朗运动也有类似的结果成立，即 $H^{\nu}$ 对于相对于某测度而言几乎所有的 $\nu$ 是极值的。