有界集上被杀死的布朗运动的转移密度

我们研究了标准二维布朗运动在击中一个有界 Borel 集 $A$ 时被杀死的转移密度。我们推导了该密度（记为 $p^A_t({\bf x},{\bf y})$）在较大时间 $t$ 下以及对于 $A$ 外部的 ${\bf x}$ 和 ${\bf y}$ 的渐近形式，该形式在约束 $|{\bf x}|\vee |{\bf y}| =O(t)$ 下一致成立。特别是在抛物型区域 $|{\bf x}|\vee |{\bf y}| = O(\sqrt t)$ 内，对大 $t$ 证明了 $p^A_t({\bf x},{\bf y})$ 的渐进行为类似于 $4e_A({\bf x})e_A({\bf y}) (\lg t)^{-2} p_t({\bf y}-{\bf x})$，其中 $p_t({\bf y}-{\bf x})$ 是布朗运动（无杀死）的转移核，$e_A$ 是“$A$ 的外部”的 Green 函数，在无穷远处有极点，并归一化使得 $e_A({\bf x}) \sim \lg |{\bf x}|$。我们还针对 $|{\bf x}|\vee |{\bf y}|>t$ 的情况给出了 $p^A_t({\bf x},{\bf y})$ 相当精确的上界和下界，以及高维下的相应结果。