在有限集上终止的随机游走的渐近行为

我们研究了一个二维随机游走在进入非空有限子集 $A$ 时被终止的转移概率在大时间 $n$ 下的渐近行为。我们证明，对于大的 $n$，在抛物线区域 $|x|\vee |y| =O(\sqrt n)$ 内一致地，其行为类似于 $4 \tilde u_A(x) \tilde u_{-A}(-y) (\lg n)^{-2} p^n(y- x)$，其中 $p^n(y-x)$ 是随机游走（无终止）的转移核，而 $\tilde u_A$ 是 '$A$ 的外部' 中满足边界条件 $\tilde u_A(x) \sim \lg |x|$ 在无穷远处成立的唯一调和函数。