一般域上泊松问题的偏移边界法分析

偏移边界法（SBM）是一类用于边值问题的近似域方法，属于非拟合/嵌入/浸入方法的更广类别。它已被证明在处理复杂几何问题（从泊松到达西、从 Navier-Stokes 到弹性乃至更广）时颇为高效。SBM 的关键特征在于将施加 Dirichlet 边界条件的位置从真实边界偏移至替代边界，并对边界条件的值作适当修正（同样是一次“偏移”），以减小一致性误差。本文对该方法在光滑与非光滑域中给出严谨分析，阐明几何形状以及精确边界与替代边界之间距离对收敛速率的影响。在不失一般性的前提下，我们考虑以带 Dirichlet 边界条件的泊松问题为模型，首先详述获取替代边界与真实边界之间关键偏移的步骤。接着，我们给出离散问题适定性与稳定性的充分条件。由偏移边界条件引起的一致性误差行为被透彻分析，分别针对光滑边界以及带角点和棱边的边界。证明了在能量范数下收敛率为最优，并在 $L^2$ 范数下进一步增强。