超布朗运动的退出测度、局部时间与边界局部时间

我们利用对 $d\leq 3$ 时以 $x\in \mathbb{R}^d$ 为中心的小球补集上退出测度总质量的重正化，给出超布朗运动在 $x$ 处的总局部时间 $L^x$ 的一种新构造。在 \cite{Hong20} 中，对集中在 $x$ 处（此处退出测度为正但异常小）的退出测度总质量使用一种更奇异的重正化，来构建支撑在超布朗运动值域拓扑边界上的边界局部时间。我们对 $L^x$ 的退出测度构造启发了此重正化。我们在此给出该构造的重要一步：建立相关平均测度到显式极限的收敛性；这将用于 \cite{Hong20} 中边界局部时间的构造。我们的两个结果都依赖于具有奇异初数据的关联半线性椭圆方程解的行为，以及 Le Gall 关于退出测度的特殊马尔可夫性质。