零白噪声极限下有界区域平均逃逸时间的精确估计

我们证明了当$\ve \to 0$且在有界区域$D\subset \mathbb R^d$包含$f$的唯一非退化极小值且$\pa_{\mbf n}f>0$在$\pa D$上成立的情况下，过阻尼Langevin动力学$d X_t = -\nabla f(X_t) d t + \sqrt{2\ve} \ d B_t$从$D$的平均逃逸时间的精确渐近公式。该公式实际上首次在文献[matkowsky-schuss-77]中使用形式化计算导出，因此我们在可逆情形下提供了其首个证明。作为直接推论，当$\ve \to 0$时，我们得到了与$\pa D$上Dirichlet边界条件相关的算子$L_{\ve}=-\ve \Delta +\nabla f\cdot \nabla$的最小特征值的精确渐近估计。该方法不要求$f|_{\partial D}$为Morse函数。证明基于文献[Day2,Day4]的结果以及文献[BEGK, BGK]中引入的从$D$的平均逃逸时间公式。