连续 ${\cal L}_2$ 有界鞅期望局部时间的一个尖锐界

对于一个无常数区间、起始于 $0$ 且最终方差为 $\sigma^2$ 的连续 ${\cal L}_2$ 有界鞅，其在 $x \in \cal{R}$ 处的期望局部时间至多为 $\sqrt{\sigma^2+x^2}-|x|$。该尖锐界由在标准布朗运动首次离开区间 $(x-\sqrt{\sigma^2+x^2},x+\sqrt{\sigma^2+x^2})$ 时停止的情形达到。关于期望最大值、最大绝对值、最大直径以及区间上穿最大次数的尖锐界已由 Dubins 和 Schwarz (1988)、Dubins、Gilat 和 Meilijson (2009) 以及作者们 (2017) 建立。