指数鞅与 Brownian 运动的时间积分

我们给出了 $\int \exp (B_s - s/2) ds$ 的概率密度的简单表达式，用其分布函数及 $\exp (B_s + s/2)$ 的时间积分的分布函数表示。该关系通过测度变换论证获得，其中由时间积分决定的事件上的期望被替换为整个概率空间上的期望。我们给出了关于这些随机变量以及具有任意常数漂移的几何 Brownian 运动时间积分的下尾概率的精确信息。特别地，$E[ \exp\big(\theta / \int \exp (B_s)ds\big) ]$ 有限当且仅当 $\theta < 2$。我们给出了亚式看涨期权价格的一个新公式。