$W_1$-最优传输中射线单调选择子的不稳定性

对于距离代价 $c(x,y)=|x-y|$，$W_1$-最优计划的集合 $O(\mu,\nu)$ 通常不是单点集。在欧几里得情形下的经典绝对连续性假设下，通过二次能量 $C_2$ 进行的次级变分选择会产生射线单调的 $W_1$-最优计划。我们针对 Santambrogio 提出的一个关于该选择子在边缘分布弱收敛下稳定性的公开问题，提供了一个反例。更确切地说，我们构造了一个固定的绝对连续源 $\mu$ 和绝对连续的目标 $\nu_n\rightharpoonup\nu$，使得 $\gamma^{\mathrm{sel}}(\mu,\nu_n)\rightharpoonup\gamma^{\mathrm{hom}}$，其中 $\gamma^{\mathrm{hom}}\in O(\mu,\nu)$ 但 $\gamma^{\mathrm{hom}}\neq\gamma^{\mathrm{sel}}(\mu,\nu)$。我们还确定了最优计划集 $O(\mu,\nu_n)$ 的窄 Kuratowski 极限，推导了形式为 $\int \Phi(|x-y|)\,d\gamma$（其中 $\Phi\in C([0,2])$）的次级能量的约束 $\Gamma$-极限，并推导出关于加性扰动 $c_\varepsilon(x,y)=|x-y|+\varepsilon|x-y|^2$ 的非交换性结果。