离散最优传输中 Kantorovich 解的刚性

我们研究从 $m$ 个等权点（权重为 $1/m$）到 $n$ 个等权点（权重为 $1/n$）的最优传输方案。Birkhoff-von Neumann 定理表明，若 $m=n$，则最优传输方案可由双射实现：每个 $x_i$ 的质量被发送至唯一的 $y_j$。当 $m \neq n$ 时这不可能，然而某种程度的刚性依然成立。我们证明，在假设不失一般性 $m < n$ 的前提下，对于一般的传输代价，最优传输方案将每个源点 $x_i$ 的质量发送至 $n/m \leq \mbox{不同目标数} \leq n/m + m-1$ 个不同的目标。此外，平均每个目标接收来自 $\leq 1 + m/\sqrt{n}$ 个源的质量。可能存在更强的结论：在实验中观察到，每个源倾向于将其质量分布在大约 $n/m +c$ 个不同目标上，其中 $c$ 似乎相当小。