抛物型偏微分方程时空一阶系统最小二乘方法的改进收敛阶

我们考虑[ Bochev, Gunzburger, Springer, New York (2009)]中引入、并在[F"uhrer, Karkulik, Comput. Math. Appl. 92 (2021)]与[Gantner, Stevenson, ESAIM Math. Model. Numer. Anal. 55 (2021)]中分析的热方程一阶系统时空形式，其解分量为$(u_1,{\bf u}_2)=(u,-\nabla_{\bf x} u)$。相应算子在Hilbert空间$U$与$L_2$型空间的笛卡尔积之间有界可逆，这有助于简单的一阶系统最小二乘(FOSLS)离散。除$\nabla_{\bf x} u_1$与${\bf u}_2$的$L_2$范数外，$U$的(图)范数还包含$\partial_t u_1 +{\rm div}_{\bf x} {\bf u}_2$的$L_2$范数。当对时空柱体使用基于单纯形剖分的标准有限元时，关于后一范数的逼近误差估计需要${\bf u}_2$的高阶光滑性。在均匀与自适应加密剖分的实验中，这对非光滑解$u$表现为令人失望的低收敛速率。本文中，我们针对棱柱剖分构造有限元空间。它们带有一个拟插值子，满足近交换图性质，即除某些无害项外，上述误差仅依赖于$\partial_t u_1 +{\rm div}_{\bf x} {\bf u}_2$（即强迫项$f=(\partial_t-\Delta_x)u$）的光滑性。数值结果显示显著改善的收敛速率。