用于散度协调HDG格式求解不可压缩流动问题的$hp$-多重网格预条件子

在本研究中，我们针对采用增广拉格朗日公式的广义Stokes方程和Navier-Stokes方程，提出了一种用于散度协调（divergence-conforming）HDG格式的$hp$-多重网格预条件子。我们的方法依赖于二维和三维中的协调单纯形网格。$hp$-多重网格算法是一种乘性辅助空间预条件子，其采用最低阶空间作为辅助空间，并且我们开发了几何多重网格方法作为辅助空间求解器。对于广义Stokes问题，该几何多重网格方法的关键要素在于凝聚的最低阶散度协调HDG格式与Linke和Merdon（Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 311 (2016)）所引入的具有压力鲁棒（pressure-robust）处理的Crouzeix-Raviart离散化之间的等价性，这使得几何多重网格理论可直接应用于Crouzeix-Raviart离散化。数值实验证明了所提出的$hp$-多重网格预条件子关于网格尺寸和增广拉格朗日参数的鲁棒性，其迭代次数对多项式阶数增加不敏感。受Benzi与Olshanskii（SIAM J. Sci. Comput., 28(6) (2006)）以及Farrell等人（SIAM J. Sci. Comput., 41(5) (2019)）工作的启发，我们进一步在所提出的预条件子应用于散度协调HDG格式求解Navier-Stokes方程上进行了测试。数值实验显示，预条件GMRes求解器的迭代次数随雷诺数上升至$10^3$仅轻微增加。