Navier-Stokes 方程 $Q_2-Q_1$ 混合离散化的代数多重网格方法

本文考虑用于偏微分方程（PDEs）离散系统的代数多重网格（AMG）预条件子，其中与不同物理量相关的未知量不一定共位于网格点处。具体地，我们研究不可压缩 Navier-Stokes 方程的 $Q_2-Q_1$ 混合有限元离散化，其中速度节点数远大于压力节点数。因此，某些速度自由度（dofs）定义在没有对应压力自由度的空间位置上。于是，利用此种共置结构的 AMG 方法不适用。本文转而提出一种自动 AMG 粗化方法，其模拟 $Q_2-Q_1$ 离散化的特定压力/速度自由度关系。主要思想是首先以某种标准 AMG 方式自动定义粗压力，然后仔细（但自动地）选择粗速度未知量，使得压力与速度自由度之间的空间位置关系类似于最细网格上的关系。为定义网格间传递中的系数，采用了能量最小化 AMG（EMIN-AMG）。EMIN-AMG 不依赖于特定的粗化方案和网格传递稀疏模式，因此适用于所提出的粗化。给出了 Stokes 和不可压缩 Navier-Stokes 问题上突出求解器性能的数值结果。