带重叠斯莫斯平滑器和局部谱粗网格的代数多网格方法用于最小二乘问题

本文发展了一种新的代数多网格（AMG）方法，用于稀疏最小二乘系统 $A=G^TG$，此类系统源自科学计算中具有挑战性的应用，经典AMG方法在此类问题上往往难以解决。首先我们回顾并阐述了在AMG、域分解（DD）和多尺度有限元文献中使用局部谱问题的做法。随后我们提出一种新方法，融合聚类化粗化、重叠斯莫斯平滑器以及局部构建的谱粗网格。通过利用 $A$ 的因式分解结构，我们构建一种低成本的对称半正定分割，产生局部广义特征值问题，其解定义稀疏、非重叠的粗基函数。这样即可实现完全代数的、自然递归的多层次层级结构，可选择慢速粗化以实现类似AMG的算子复杂度，或选择激进粗化—相应地需要更大的局部谱问题—以确保在无法被现有AMG方法求解的问题上具有鲁棒性。该方法无需几何信息，避免全局特征值求解，同时保持通过局部化操作实现的高效可并行设置。数值实验表明，所提出的最小二乘AMG-DD方法在旋转扩散问题上可实现与各向异性无关的收敛率，并且随问题规模的增大保持可扩展性；而对于少量各向异性，我们在收敛性和算子复杂度方面可与经典AMG方法相当。最显著的是，对于源自磁 confinement fusion 中极端各向异性热传导算子的问题，AMG和平滑聚类均未能显著降低残差，我们的方法在各向异性强度数个数量级范围内提供了稳健且高效的收敛。