非对称代数多重网格的范数收敛性

代数多重网格(AMG)是求解大型稀疏线性方程组最快的数值方法之一。对于SPD矩阵,AMG的收敛性在$A$-范数下有充分的动机,且AMG已被证明是许多应用中的有效求解器。近来,已开发出若干在非对称线性方程组上有效的AMG算法。尽管每种情况都给出了动机,但AMG对非对称线性方程组的收敛性仍未被很好理解,且算法主要基于启发式或不完整的理论。对于多重网格的限制算子和插值算子,分别为$R$和$P$,令$\Pi:= P(RAP)^{-1}RA$表示AMG中对应粗网格校正的投影。在非对称情形下,已知任意范数下恒有$\|\Pi\| > 1$。这导致了一个有趣的二分法:粗网格校正对AMG实现快速收敛至关重要,但在此情形下却可能实际增大误差。本文给出非对称AMG的详细分析,讨论SPD理论在非对称情形下失效的原因,并发展NS-AMG收敛性的一般框架。经典多重网格弱与强逼近性质被推广到一种\textit{分数逼近性质}。随后给出关于$R$和$P$的条件,以确保$\|\Pi\|_{\sqrt{A^*A}}$被良好有界,且与问题规模无关。接着发展了在$\sqrt{A^*A}$-范数下两网格和多层W循环收敛的条件。