坐标 Bethe 拟设如何作用于 Inozemtsev 模型

三十年前，Inozemtsev 发现了一种具有椭圆对势的各向同性长程自旋链，它插值于 Heisenberg 与 Haldane-Shastry (HS) 自旋链之间，同时基于与椭圆量子 Calogero-Sutherland 模型的联系而处处可精确求解。尽管 Inozemtsev 自旋链被广泛认为量子可积，但其精确可解性的潜在代数原因尚不清楚。作为朝此方向的一步，我们改进了 Inozemtsev 的“扩展坐标 Bethe 拟设”，并澄清了该模型精确谱及其极限的各个方面。我们识别出准动量，使得 $M$ 粒子能量接近于（函数意义上）可加，正如从极限模型所预期的那样；我们的表达式在椭圆 Calogero-Sutherland 系统能量可加时才是可加的。这使我们能在椭圆曲线上重写能量与 Bethe 拟设方程，将谱问题转化为有理问题，正如各向同性自旋链所预期的那样。我们详细处理了 $M=2$ 粒子扇区及其极限。我们识别出一个与位置无关的 $S$ 矩阵。我们证明 Bethe 拟设方程在一个极限下退化为 Heisenberg 的方程，并在另一极限下给出 HS 的“基元”。我们证明，随着插值参数改变，来自 Heisenberg 的“散射态”变为 HS 的 Yangian 最高权态，而束缚态变为（$\mathfrak{sl}_2$ 最高权版本的）来自 $M=1$ 的磁子的仿射后裔。对束缚态，我们找到了 Heisenberg 自旋链“临界长度”已知方程的一个推广。我们通过过渡到椭圆曲线讨论了 $M=2$ 的完备性。我们对 Heisenberg 与 HS 自旋链双粒子扇区的评述可能具有独立意义。