Γ(1)\ℋ上的闭与非闭水平圆轨道

本文研究了Γ(1)\ℋ上的某些水平圆轨道。首先，我们考察了由圆束定义的水平圆，其公共点（用Nielsen-Fenchel手稿的话说）是∞。这种情况下的轨道是闭的且长——以两点间的弧长与它们之间的双曲距离来衡量。我们关注追踪单个水平圆的路径。利用Farey序列的Ford圆，我们找到了到标准基本区域（SFR）的提升，并找到了这些提升中与水平线成给定角度的点。接下来，我们提供了两种方法，均涉及连分数，用于定位具有此类角度的点，其提升接近SFR中的任意给定点。这以一种有效的方式建立了一种传递性，必然涉及无穷多个这样的水平圆。接着，我们研究了当我们下降到实轴时水平水平圆的同伦类。我们发现这些同伦类在下降过程中，在水平线与椭圆不动点相遇之间是稳定的。这种相遇会改变——复杂化——同伦类。我们明确给出了这些同伦类，直到高度1/(2√3)。最后，我们对锚定在φ-1处（φ是黄金比例）的单位欧几里得半径的开（无限长）水平圆路径进行了初步研究。我们提供了足够的信息来表明这条路径本身是传递的。这些方法在某种程度上类似于Hardy-Littlewood圆法，尽管没有指数和。