次二次多项式时间下水平流轨道的稠密性

设 $\Gamma\subset PSL(2,\mathbb{R})$ 使得空间 $X=\Gamma\backslash PSL(2,\mathbb{R})$ 非紧。令 $(h_t)$ 为作用在 $X$ 上的水平流。我们证明，对于每个非 $(h_t)$ 周期的 $x\in X$ 以及每个 $\delta\in (0,1)$，轨道 $\{h_{n^{2-\delta}}x\}_{n\in \mathbb{N}}$ 在 $X$ 中稠密。在额外假设哈代-李特尔伍德猜想的情况下，我们证明对于每个非周期的 $x\in X$，$\{h_{p}x\}_{p- \text{prime}}$ 在 $X$ 中稠密。最后，我们证明对于 $\Gamma=PSL(2,\mathbb{Z})$，当 $q$ 沿模 $4$ 余 $1$ 的素数趋于无穷时，$\{h_{n^2}y_q\}_{n<q}$ 关于哈尔测度等分布，其中 $\{y_q\}$ 是周期为 $q$ 的周期点序列。