素数在 $\Gamma \backslash PSL_2(\mathbb{R})$ 中的非聚集性

本文将 Sarnak 与 Ubis \cite{sarnak-ubis} 关于 $PSL_2(\mathbb{Z}) \backslash PSL_2(\mathbb{R})$ 上 horocycle 轨道中素数的非聚集性结果推广到 $PSL_2(\mathbb{R})$ 中的任意格。证明结合了 Str\"ombergsson \parencite{strombergsson} 的渐近结果与 Venkatesh 的方法 \parencite{venkatesh},以及 Sarnak 和 Ubis 用周期 horocycle 逼近 horocycle 片段的思路。关键步骤是建立 $\{\xi h(t), t \in [0, T] \}$ 在 $\Gamma \backslash PSL_2(\mathbb{R})$ 中具有良好等分布性与它可被小周期闭 horocycle 片段逼近这两者之间的二分法。在后续论文中,将使用类似方法证明 $\xi h(n^{1+\gamma})$ 对小的 $\gamma>0$ 的等分布性,从而将 Venkatesh 的结果 \parencite{venkatesh} 推广到非紧 $\Gamma$。