树上 horospherical 作用的质量不逃逸与等分布

设 $G$ 为作用于双正则树 $T$ 上的大群，$\Gamma \leq G$ 为几何有限格。在早前工作中，作者分类了 horospherical 子群在 $G/\Gamma$ 上作用的轨道闭包。本文中我们证明不存在质量逃逸，并由此证明事实上稠密轨道在 $G/\Gamma$ 上等分布于 Haar 测度。另一方面，我们表明在非几何有限格的商上出现了 horospherical 作用的新动力学现象：我们给出非几何有限格的实例，其中发生质量逃逸现象，且沿 Folner 序列的轨道平均不收敛。在最后部分，作为我们方法的副产品，我们证明树 $T$ 中大球面上一致分布在 $\Gamma \backslash T$ 上的投影收敛于 $\Gamma \backslash T$ 上的自然概率测度。最后，我们将此等分布结果应用于格点计数问题，得到具指数误差项的计数渐近式。