模曲面上 horocycle 流的 Poincaré 映射与 Stern-Brocot 树

我们为模曲面 $PSL(2,\mathbb{Z})\backslash \mathbb{H}$ 上的正向 horocycle 流构造了一个 Poincaré 映射 $\mathcal{P}_h$，并着手对其动力学性质进行系统研究。特别地，我们给出了 $\mathcal{P}_h$ 周期轨道的完整刻画，证明它们相对于 $\mathcal{P}_h$ 的不变测度是等分布的，并且可利用有理数的 Stern-Brocot 树将其组织成一棵树。此外，我们引入了 $\mathcal{P}_h$ 的一个时间重参数化，从而洞察非周期轨道的动力学。本文构成了以纯动力学方法研究 horocycle 流动力学性质的第一步。