平坦射影丛上的 horocycle 流：拓扑注记与应用

本文研究双曲曲面上平坦射影丛上叶状 horocycle 流的动力学拓扑方面，并推导其遍历结论。若 $\rho : \Gamma \to {\rm PSL}(n+1,\mathbb{R})$ 为非初等 Fuchsian 群 $\Gamma$ 的一个表示，则由 $\rho$ 定义的平坦射影丛所对应的单位切丛 $Y$ 容许一个由叶状测地流与 horocycle 流结合而得的仿射群 $B$ 的自然作用。若像 $\rho(\Gamma)$ 满足 Conze-Guivarc'h 条件，即强不可约性与邻近性，则 $B$-作用的动力学可由 $\rho(\Gamma)$ 在 $\mathbb{R}{\rm P}^n$ 上的邻近动力学刻画（定理 A）。事实上，$Y$ 的唯一 $B$-极小子集上的叶状 horocycle 流动力学可用曲面 $S= \Gamma \backslash \mathbb{H}$ 的单位切丛 $X$ 中非游荡集上的 horocycle 流动力学描述（定理 B）。在假设存在连续极限映射的前提下，我们证明 $B$-极小集是限制在 $Y$ 中非游荡集邻近部分的叶状 horocycle 流的吸引子（定理 C）。作为推论，我们推得受限流存在唯一的保守遍历 $U$-不变 Radon 测度（定义到一个乘法常数为止）当且仅当 $\Gamma$ 为凸余紧。例如，由 Cannon-Thurston 映射定义的球丛上的叶状 horocycle 流是唯遍历的。