$H \backslash \Gamma(1)$ 上的个体水平圆轨道：闭轨道与非闭轨道

本文致力于追踪模曲面 $H \backslash \Gamma(1)$ 上个体水平圆的轨迹。通常更常见的是研究这类轨迹的集合，通过平均过程寻求某种渐近行为（见第 \ref{previous} 节）。我们的工作与这些努力仅有微弱的关联。我们首先考察由圆束定义的水平圆，这些圆的公共点（用 Nielsen-Fenchel 手稿 \cite{wF} 的话来说）是 $\infty$。这种情况下涉及的轨道是闭的且长的——根据两点间的弧长与它们之间的双曲距离来判断。利用 Farey 序列的 Ford 圆，我们找到这些轨道到标准基本区域 (SFR) 的提升，并找到这些提升中与水平线成给定角度的点。接下来，我们提供两种算法，均涉及连分数，用于定位其与水平线的角度接近任意目标角度且其提升接近 SFR 中任意给定点的点。接着，我们研究当下降到实轴时水平水平圆的同伦类。我们发现，在水平水平圆与椭圆不动点相遇之间，这些同伦类在下落过程中是稳定的。这种相遇会改变——复杂化——同伦类。我们明确给出了下降到高度 $1/(2\sqrt{3})$ 时的这些同伦类。最后，我们对以黄金分割比 $\phi$ 减 1 为锚点、单位欧几里得半径的开（无限长）水平圆路径进行了初步研究。收集到的足够信息表明，这条单一的双向无限路径是传递的。