三次数域中单生成序的 Hopf-Galois 模结构

对于一个三次数域 $L$，我们考虑形如 $\mathbb{Z}[\alpha]$ 的 $L$ 中的 $\mathbb{Z}$-序，其中 $\alpha$ 是形如 $x^3-ax+b$ 的多项式的根，且 $a,b\in\mathbb{Z}$ 为满足对所有素数 $p$ 有 $v_p(a)\leq 2$ 或 $v_p(b)\leq 3$ 的整数。我们以关于 $a$ 和 $b$ 的两个广义 Pell 方程中至少一个的可解性来刻画 $\mathbb{Z}[\alpha]$ 作为 $L$ 上唯一 Hopf-Galois 结构 $H$ 的关联序的模的自由性。我们以关于 $a$ 和 $b$ 的同余条件来确定 $\mathcal{O}_L=\mathbb{Z}[\alpha]$ 何时成立。对于这些情况，我们将结果专门化以获得 $\mathcal{O}_L$ 作为 $H$ 的关联序的模的自由性的判定准则。