$\mathbb{Q}$ 的四次伽罗瓦扩张的 Hopf-Galois 模结构

给定数域的四次伽罗瓦扩张 $L/\mathbb{Q}$ 及 $L/\mathbb{Q}$ 上的 Hopf-Galois 结构 $H$，我们研究整数环 $\mathcal{O}_L$ 作为关联序 $\mathfrak{A}_H$（位于 $H$ 中）上模的自由性。对于经典伽罗瓦结构 $H_c$，由 Leopoldt 定理知 $\mathcal{O}_L$ 是 $\mathfrak{A}_{H_c}$-自由的。若 $L/\mathbb{Q}$ 为循环扩张，则其有唯一非经典 Hopf-Galois 结构；若为双二次扩张，则有三个此类 Hopf-Galois 结构。在两种情形下，我们均得到自由性依赖于某些广义 Pell 方程在 $\mathbb{Z}$ 中的可解性。我们将 Pell 方程的一些结果转化为关于 $\mathcal{O}_L$ 的 $\mathfrak{A}_H$-自由性的结果。