循环三次域代数整数的 Galois 模结构

我们利用通用循环三次多项式 $f_n(X)=X^3-nX^2-(n+3)X-1$ 的根确定了所有三次域的整数环的 Galois 模结构。设 $L_n=\mathbb Q(\rho_n)$ 为具有 Galois 群 $G:={\rm Gal}(L_n/\mathbb Q)$ 的循环三次域，其中 $\rho_n$ 是 $f_n (X)$ 的根，${\mathcal O}_{L_n}$ 为 $L_n$ 的整数环。我们利用 $f_n(X)$ 的根，显式给出了秩为 $1$ 的自由模 ${\mathcal O}_{L_n}$ 在其关联阶 ${\mathcal A}_{L_n/\mathbb Q}:= \{ x\in \mathbb Q [G] \, |\, x\, {\mathcal O}_{L_n} \subset {\mathcal O}_{L_n} \}$ 上的生成元。