极大阶上逆差平方根的 Galois 模结构

设 $K$ 为以 $\mathcal{O}_K$ 为整数环的数域，$G$ 为奇数阶有限群。给定 $G$-Galois $K$-代数 $K_h$，设 $A_h$ 为 $K_h/K$ 的逆差平方根，其存在性由 Hilbert 公式保证。若 $K_h/K$ 是弱分歧的，则根据 B. Erez 的结果，$A_h$ 在 $\mathcal{O}_{K}G$ 上是局部自由的，此时它确定了 $\mathcal{O}_KG$ 的局部自由类群 $\mbox{Cl}(\mathcal{O}_KG)$ 中的一个类。$\mbox{Cl}(\mathcal{O}_KG)$ 中的这样一个类被称为 $A$-可实现的，若 $K_h/K$ 是驯分歧的，则称为驯 $A$-可实现的。设 $\mathcal{A}(\mathcal{O}_KG)$ 和 $\mathcal{A}^t(\mathcal{O}_KG)$ 分别表示所有 $A$-可实现类和驯 $A$-可实现类的集合。对于交换群 $G$，我们将证明当将标量扩展至 $KG$ 中的极大阶时，集合 $\mathcal{A}(\mathcal{O}_KG)$ 和 $\mathcal{A}^t(\mathcal{O}_KG)$ 是相等的。